x L. Jeżeli o tym sygnale zakładamy jedynie to, że jest on stacjonarny, to możemy znaleźć r ˆ[

Transkrypt

1 AALIZA WIDMOWA c.d. Moenty jo ety ziennych losowych Moenty widowe Identyficj ówcy z zstosownie oentów widowych Wysooozdzielcz etyczn estycj WGM wid gęstości ocy Estycj WGM n odstwie odelu AR Pytni z nlizy widowej dl Austyi Mowy Zstosowni oentów widowych

2 oniższych wyesch widziy eiodogy otzyne w MATLABie. Dugi z nich jest eiodog zodyfiowny z one von Hnn. Zwc on estytę (.33) lub (.34). >> Fs ; t :/Fs:.3; x cos(*i*t*)+.*ndn(size(t)); % A cosine of Hz lus noise eiodog(x,[],'onesided',5,fs); % The defult window is used >> Fs ; t :/Fs:.3; x cos(*i*t*)+.*ndn(size(t)); % A cosine of Hz lus noise eiodog(x,hnning(3),'onesided',5,fs); % The hnning window is used odstwie definicji WGM jo DTFT z ciągu utooelcji (.9) estytoe widowy w ostci oelogu jest ˆ[ ( ) ˆ jω P ( ω ) ] e (.35) c gdzie ˆ[ ] ozncz estytę [] otzyną n odstwie dostęnych óbe { [ ], x[],, x[ ] } x L. Jeżeli o ty sygnle złdy jedynie to, że jest on stcjonny, to ożey znleźć ˆ[ ] otzebne w (.35) dwo sosobi: jo estyto stnddowy nieobciążony ˆ[ ] [ ] [ ], x n x n n + (.36) i jo estyto stnddowy obciążony (leszy dl śednich i dużych wtości etu )

3 3 ˆ[ ] x[ x [ n ], n + zy czy, dl indesów ujenych, ozysty z włściwości (.37) ˆ [ ] ˆ [ ] (.38) W tyce obliczeni eiodogu i oelogu wyonuje się z oocą FFT zist DTFT, wygjącej continuu wtości częstotliwości. Stosuje się też uzuełninie ciągu { zei, gdy nie jest otęgą liczby. x[ } n Moenty jo ety ziennych losowych W oniższych wzoch zstosowno nstęujące oznczeni [3] ξ zienn losow, f ξ (x) funcj gęstości wdoodobieństw ziennej losowej ξ, x wtość ziennej losowej w zbioze ξ (ε ) R (inluzj zbioów), ε zbió zwny zestzenią wyniów doświdczeni lub zestzenią zdzeń eleentnych; eleenty e ε tego zbiou są nzywne wynii doświdczeni lub zdzenii eleentnyi. Moent zwyły zędu ziennej losowej ξ to liczb ξ x - Moent centlny zędu ziennej losowej ξ to liczb gdzie - f ( x)dx ( ξ ξ ) ( x ξ ) f ( x)dx ξ ξ to oent zwyły zędu. W zydu ziennej losowej dysetnej ξ o sończonej liczbie elizcji x ;,, L ; owyższe wyżeni zyjują ostć i gdzie { P ( x );,, L } ( ξ ξ ) ξ ξ ξ x P ( x ( x ξ ) ξ ) P ( x ξ to zbió wdoodobieństw zyoządownych ty elizcjo. ξ )

4 4 ξ ξ Moenty unoowne otzyujey dzieląc oenty zwyłe i centlne zez. Moenti njwżniejszyi i njczęściej wyozystywnyi do oisu ziennych losowych są: ξ oent zwyły zędu, nzywny wtością oczeiwną, wtością śednią lub ndzieją tetyczną ziennej losowej ξ i oznczny ównież E (ξ ) lub ξ, lub M(), ξ oent zwyły zędu, nzywny wtością śedniowdtową ziennej losowej ξ i oznczny tże E ξ ), ( ( ξ ξ ) oent centlny zędu lub inczej wincj ziennej losowej ξ i oznczny njczęściej σ ξ. Często też wyozystywny jest ównież et σ ξ iewiste z wincji oznczny zez σ ξ, nzywny odchylenie stnddowy (dysesją) ziennej losowej ξ. (Dysesj inczej ozzut.) Moenty widowe Moenty widowe to desytoy cech sygnłu. Wyozystuje się je do bdni odobieństw oiędzy óżnyi obieti. Oblicz się je njczęściej n odstwie estyty WGM wid sygnłu. Aby zdefiniowć oenty widowe, w owyższych wzoch zstęujey zez częstotliwość jego estytę oznczenie f,,, L oz P ξ ( x ) zez wido gęstości ocy P lub Pˆ, liczone z oocą -untowej DFT (FFT). Wówczs, wowdzjąc otzyujey oent widowy -tego zędu M ( ) ξ (.39) f ˆ x, P Pξ ( x ) lub P Pξ ( x ) ( ) f (.4) i oent widowy unoowny -tego zędu M ( ) M u ( ) M () (.4) x

5 5 gdzie M () P to oent widowy zędu zeowego jący zstosownie nolizujące i ozncz oc sygnłu, i oent widowy unoowny centlny -tego zędu gdzie P [ f M u ()] M uc( ) (.4) M () P f M u () (.43) M () to oent widowy unoowny iewszego zędu używny do obliczni oentów widowych centlnych wyższych zędów inteetcję śod ciężości wid. A tez dlsze szczególne zydi oentów widowych. Moent widowy unoowny centlny dugiego zędu inteetcję wdtu szeoości s częstotliwości zjownych zez sygnł P [ f M u ()] M uc() (.44) M () Moent widowy unoowny centlny tzeciego zędu to niesyeti wid, inczej sośność (ng. sewness) 3 P [ f M u ()] M uc(3) (.45) M () Pet widowy będący ią słszczeni wid (oulnie utoz) M uc(4) utosis (.46) [ M uc()] Możn też inczej zisć utosis ( x x) σ 4 x 4 (.47) gdzie x to -t obsewcj sośód dostęnych obsewcji, x to śedni ytetyczn ze wszystich óbe, σ x to odchylenie stnddowe (dysesj, ozzut) liczone n odstwie obsewcji. Pete służący jo i łsości wid (ng. SFM Sectl Fltness Mesue) jest (śedni geoetyczn zez śednią ytetyczną) SFM log / / P / / P (.48)

6 6 zy czy P to widow gęstość ocy (WGM) obliczon z oocą -untowej DFT (FFT). Moenty widowe ożn tże obliczć dl fgentów wid. Wówczs nleży w owyższych wzoch zienić zesy suowni (i iloczynu dl SFM) n nuey óbe wid odowidjące częstotliwościo: f dolnej i f g gónej, wid sygnłu. Pzyłdowo, iewszy oent widowy znolizowny M u ( ) śode ciężości wid, liczony w zesie oiędzy dwo olejnyi inii obwiedni wid, oże być inteetowny jo częstotliwość fontu, znjdującego się w ty śie częstotliwości. Poniżej jest zieszczony zyłd zstosowni oentów widowych w tyce. Identyficj ówcy z zstosownie oentów widowych Zgodź zbioy ngń głosów. Aby slsyfiowć szczególny, docelowy głos sośód głosów w zbioze odniesieni (efeencyjny), nleży [] zgodzić głosy o nzwie ngielsiej isochuns (jednowe włi). Isochun jest definiowny jo segent owy, w tóy ówc, wywijąc go, z żdy ze oniecznie stosuje tę są wyowę, więc bzi on t so. Aby óc ti segent wyozystć, w bzie zbioów ngń głosów usi egzystowć więcej niż jeden ti segent dl żdego ówcy. I więcej, ty leiej z untu widzeni jego weyficji/identyficji n odstwie oównni z ngnii zisnyi w bzie. Isochun oże ieć dowolną długość, jedn nie owinien zwieć zew. Chodzi o to, by ił on z zsdy tą są eezentcję, zy tóej oże on óżnić się dl oszczególnych ówców sosobi jego tyulcji. (Atyulcj uchy i ułd nządów owy (n. języ, wg, odniebieni ięiego, wiązdeł głosowych) odczs wywini oszczególnych głose.) Czynniie ytyczny w selecji segentu owy jo isochun- jest, by wybny ciąg bził z żdy ze t odobnie, j to tylo ożliwe dl dnego ówcy i nieodobnie, j to tylo ożliwe, dl innych ówców. Po wyselecjonowniu isochuns i ich wydobyciu, nstęnie, cele wydobyci z nich cech dystyntywnych zydtnych do lsyficji, ożn zstosowć nstęujący lgoyt [], soządzony w Szwecji n zówienie bnu, oty n etodzie oentów widowych ocownej w oth Colin Stte Univesity, USA, tóego olejne oi zestwiono oniżej.. Oblicz DFT (ng. Discete Fouie Tnsfo) w onie o długości.. Odzuć część uojoną. 3. Pzesuń o jedną óbę i owtóz -otnie oi i. 4. Weź śednią z tnsfot i zesluj zez iewiste tzeciego stoni. To zniejszy wływ iewszego fontu. 5. Wyonj inteolcję wyniowej śedniej z oocą sześciennego slinu (ng. cubic sline), tz MATLAB cubic sline inteoltion, by otzyć synchoniczne, ciągłe wido wysoości dźwięu (ng. itch). d

7 7 6. Scłuj ciągłe wido wysoości dźwięu od do 4 Hz. To zwóci sę wid 4 ss S( f )df (.49) 7. Podziel wido zez jego sę. Dostczy to oniższej funcji gęstości wdoodobieństw i swi, że owiezchni od zywą wid będzie ił wtość jeden, dl wszystich od-owiezchni będzie to wtość z zesu od do. S( f ) P( f ) (.5) ss 8. Scłuj funcję gęstości wdoodobieństw zenożoną zez częstotliwość. Otzysz iewszy oent tj. wtość oczeiwną 4 x f P( f ) df (.5) 9. Scłuj wdt óżnicy oiędzy iewszy oente i iloczyne częstotliwości zez funcję gęstości wdoodobieństw. Otzysz dugi oent, to jest dysesję woół wtości oczeiwnej 4 σ ( f ) P( f ) df (.5). Powtóz oi od do 9, gdy liczb óbe ozostwionych w segencie owy jest więsz od Pzesluj iewszy i dugi oent, odowiednio, zez 6 i.. Soządź wyes dugiego oentu (oś ionow) w funcji iewszego (oś ozio). To utwozy śld (ng. tc). 3. łóż n tc otczjący go ostoąt o inilnej wielości MER od ng. inil enclosing ectngle. Końcowe wynii do lsyficji są wydobywne z MER. 4. Wydobądź z MER nstęujące tybuty: wtości inilną i sylną n osich ozioej i ionowej (żd z nich eezentuje jeden nożni), długości boów o stonie dłuższej i ótszej, wsółzędne śodowego untu ostoąt n osi ozioej i ionowej i ąt oientcji ostoąt względe osi ozioej. Pzyłdy i tzy wyesy oentów: dugiego względe iewszego, zwiejące MER są dostęne w [] i ozne n ys. 3, 4 i 5. Roztzono t głos segent wyowiedzi znnego szwedziego olity oz segent tej sej wyowiedzi le zez ofesjonlnego iitto (nśldowcę), nstęnie zez iitto jego ntulny głose. Do lsyficji stosowno z sucese dysyinnty z. 4 (tz wyżej) oz iy ote n odległości Mhlnobis wowdzonej w 936. (tz Wiiedi). Osiągnięto odobne wynii dl obu tych etod. Pozwlły one n ozytywną ocenę wyniów oównni oyginlnego ntulnego ngni z iitcji. Metod oentów widowych ozł się niewżliw n iitcje oyginlnej wyowiedzi.

8 8 ) Rys. 3. Wyes śldu (ng. tc) ufoownego zez wyeślenie iewszego i dugiego oentu względe siebie. Głos słynnego szwedziego olity. b) Rys. 4. Wyes śldu (ng. tc) ufoownego zez wyeślenie iewszego i dugiego oentu względe siebie. Głos jednego z ofesjonlnych iittoów odczs iitcji słynnego szwedziego olity. T s wyowiedź, j n ys. 3. c) Rys. 5. Wyes śldu (ng. tc) ufoownego zez wyeślenie iewszego i dugiego oentu względe siebie. tulny głos iitto z ys. 3 odczs iitcji słynnego szwedziego olity. T s wyowiedź, j n ys. 3.

9 9 W MATLABie oócz nieetycznych dziłją ównież inne estytoy WGM, le nleżące do etycznych. Są to: bug dziłjący wg etody Bug, cov dziłjący wg etody owincji, eig dziłjący wg etody wetoów włsnych, cov dziłjący wg zodyfiownej etody owincji, usic wyozystujący lgoyt MUSIC (Multile Signl Clssifiction), welch dziłjący wg etody Welch, yule dziłjący wg etody AR (utoegesji) Yule-Wle. Wszystie te lgoyty, nleżące do wysooozdzielczej etycznej estycji WGM, są oisne w Hel do MATLAB i otzone zyłdi i ilustcji. Wysooozdzielcz etyczn estycj WGM wid gęstości ocy Podstwowe złożenie: bdny sygnł ttowny jest jo oces stochstyczny. Poces ten jest geneowny zez odel tetyczny zleżny od łej liczby etów. Poszuiwne WGM deteinują ety odelu. Petyczn estycj WGM słd się z tzech etów.. Wybó odowiedniego odelu etycznego (n odstwie wiedzy ioi o ocesie).. Estycj etów (identyficj) odelu. 3. Obliczenie wid n odstwie t otzynych etów odelu. jczęściej stosowne odele etyczne (inczej innowcyjne): AR utoegesywny, utoegesji, MA uchoej śedniej, ng. oving vege, ARMA utoegesji i uchoej śedniej, ieszny su cisoid (zesolonych sinusoid) z ddytywny szue biły. Model AR jest filte cyfowy eusywny (IIR od ng. Infinite Iulse Resonse). Jego tnsitncj nie ze oz unte z. Model sztłtuje wido wyłącznie z oocą biegunów. Stąd ngielsą nzwę ll-ole odel. Równnie óżnicowe (..) lgoyt odelu AR zędu, AR() to x[ x[ + e[ (.) gdzie x [ to (dostęn) obsewcj wyjści odelu,,, L, ety odelu, e [ nieznne losowe obudzenie odelu (niedostęne), innowcj, jest elizcją biłego szuu gussowsiego o zeowej wtości śedniej i nieznnej ocy (wincji) σ.

10 Model MA jest filte cyfowy nieeusywny (FIR od ng. Finite Iulse Resonse) zędu q, MA(q) nie jący biegunów (ng. ll-zeo odel). Równnie óżnicowe (..) lgoyt odelu MA(q) to q x[ b e[ (.) gdzie b, b, b,, b ety odelu, inczej wsółczynnii uchoej śedniej. L q Model ARMA jest filte cyfowy IIR zędu x( q, ). Równnie óżnicowe lgoyt odelu ARMA to obincj liniow (.) i (.) q x[ x[ + b e[ (.3) Pety tego odelu nzywją się t so, j ety jego słdowych AR i MA. Model su zesolonych sinusoid w biły szuie lgoyt gdzie x[ i i + i, A, L A litudy zesolone (ety odelu), [ A, A ex( jω n) e[ (.4) e elizcj biłego szuu gussowsiego o zeowej wtości śedniej i nieznnej ocy (wincji) σ (t so, j wyżej). Ogólnie eti odelu są zówno zesolone litudy j i ulscje sinusoid zesolonych. Te osttnie sełniją związe π < ω < ω < L < ω < π. ) b)

11 c) Rys. 6. Tyowe wid odeli etycznych: ) MA, b) AR i c) ARMA; dl celów oównwczych si znolizowno do db. ys. 6 ze tnsitncji MA to: ± j. 99 i.4 ± j. 9, stąd MA + H ( z) ( z +.99 )[( z +.4).9 ]. Bieguny tnsitncji AR to ± j. 99 i.4 ± j.9, stąd H AR ( z). Dl tnsitncji HMA( z) ( z +.99 )[( z +.4) +.9 ] ARMA zyjęto n owyższy ysunu ołożenie ze: ± j. 995 i. ± j. 995, ołożenie biegunów:.± j. 98 i.5 ± j Pzy ty H z) H ( z) H ( z). Czytelniowi ozostwiy znlezienie tej ARMA( AR MA tnsitncji. Estycj WGM n odstwie odelu AR Model AR stosowny jest szeoo w technice fonicznej, n. w odelu tyulcji owy, w odelowniu nietóych instuentów uzycznych i in. Modeluje się ównież chteystyi toów tnsisyjnych, bezośednio n odstwie odbienego sygnłu. Jeżeli x [ jest ocese AR zędu tzn. { x[ } AR( ), to jego WGM oeślone jest wzoe P AR( ) + σ ( ω ) (.5) ex( jω ) Aby znleźć WGM tzeb znć σ i,,, L,. Jeżeli obie stony ównni (.) odelu AR onożyy zez x [ n l], l,, L i uśedniy o zbioze elizcji oetoe wtości oczeiwnej E, to otzyy { x[ x [ n l] } E{ x[ x [ n l] } + E{ e[ x [ n l] } E utooelcj [ l] utooelcj [ l ] (.6) Zeownie się osttniego słdni ozncz niezleżność. Z (.6) wyniją ównni Youle-Wle

12 [ l ], l [ l] [ l ] + σ, l Metod utooelcyjn Dysonując estytą ciągu utooelcji (o. z (.)) (.7) * ˆ[ l] x[ ] x [ l] (.8) gdzie to liczb óbe ciągu obsewcji x [ i gdzie l ( ), L,, L,( ), znjdujey ety odelu AR() ozwiązując ównnie ciezowe Rˆ ˆ ˆ (.9) gdzie [ ] T ˆ ˆ ˆ ˆ L weto wsółczynniów utooelcji (T ozncz tu tnsozycję weto) ˆ[] ˆ ˆ[] R M ˆ[ ] ˆ[ ] ˆ[] M ˆ[ ] [ ˆ[] ˆ[] L ˆ[ ] ] T ˆ[ ] ˆ[ ] M ˆ[ 3] L L L L ˆ[ + ] ˆ[ + ] M ˆ[] ˆ weto utooelcji. Rozwiąznie: Rˆ ˆ ˆ, zy czy σ ˆ[] + ˆ ˆ [ ]. Równni Youle-Wle dl x [ stcjonnego ocesu AR() o ciągu utooelcji [l] x gdzie x[ l ], l,, L x[ l] x[ l ] + σ, l (.) x [ l], l,, L σ to oc ciągu innowcji (szuu biłego). Inczej w ostci ciezowej

13 3 [ ] [ ] [ ] x x L x σ x[] x[] L x[ + ] ułd ównń tzw. nolnych M M L M M M x [ ] x[ ] L x[] Mciez utooelcji ( + ) ( + ) jest ciezą Toelitz. Jest to dodtnio oeślon ciez Heite. Jej szybie odwcnie dje lgoyt Levinson-Dubin (st. 5). W tyce, dysonując obsewcją x [, njiew estyujey ciąg utooelcji { } L x[ n ] L ˆ. stęnie foujey ciez estyt utooelcji ( + ) ( + ), << L. W ońcu obliczy weto wsółczynniów { ˆ }. Są one nzywne wsółczynnii liniowej edycji (ng. LPC line edictive coding/coefficients). Rząd odelu, to w zybliżeniu liczb zesolonych sinusoid wyywnych zez P AR( )( ω) (.5). Model AR() stcjonnego ciągu óbe x [ Równnie óżnicowe ocesu utoegesji AR() zędu x[ + x[ lbo x[ e[ e[ gdzie zwsze, e [ stcjonny szu biły ciąg innowcji. Schet bloowy odelu AR() ozno oniżej, gdzie odelu AR(). [ e[ x[ i A z) x ( z ; { } e [ x[ ( z) A wsółczynnii Rys. 7. Schet bloowy odelu AR(). Uwg: edyto dził wg lgoytu xˆ [ x[ x[ n ] x[ n ] L z błęde edycji e[ x[ xˆ[ x[. x[ n ]

14 4 Filt eusywny AR() stbilny, zyczynowy (tj. elizowlny w czsie zeczywisty) i odwclny Model AR() o stutuze tnsweslnej (bezośedniej) tnsitncję X ( z) H ( z). Filt do niego odwotny oeuje tnsitncją E( z) + z H z ) + ( z. e [ x[ z x[ n ] L z M x[ n ] z x[ n ] Rys. 8. Stutu tnswesln odelu AR(). Stutu tow (ng. lttice) Mel i Gy odelu AR(). Algoyt i-tego ogniw ty e ~ i [ ei[ + iei [ n ] ~ e [ e [ + ~ e [ n ] i i i i e i [ e i [ o i i o ~ [ n ] z ~ [ n ei e i ] Rys. 9. Pojedyncze ogniwo stutuy towej odelu AR(). ys. 9 oznczono sygnły n wyjścich sutoów. Cły filt towy, ozny n ys., tnsitncję X ( z) H ( z) E( z) A( z) + z

15 5 e[ e [ e e [ e [ n [ ] x[ o o L o o ~ e [ n ] z z z o L o ~ ~ [ e [ ~ e [ Rys.. Stutu tow (ng. lttice) Mel i Gy odelu AR(). e Algoyt Levinson-Dubin obliczni wsółczynniów odstwie wsółczynniów,,, L, ( ) i, i,, L, n () ( ) () ( i) (3) i i ( i) ( i) ( i ) + ii (4) ;,, L,( i ) i Reusję owtz się dl i,, L,,, więc dl lejących indesów i, ż do obliczeni wszystich i, i,, L,. Pzyłd. Dl H ( z), z + z + 3z +.9z.64z +.57z dostjey z () z () z (4) z (4) z (3) z (4) z (3) (3) i 3,,, i,,.9, () () () i, 3 (3) () (3) (3) (3) 3 () + 3 () (3).64, (3) (.64) () (.8).673 (3) Stutu tow bdzo dobe włściwości nueyczne. Wsółczynnii tej stutuy, i, i,, L, nzyw się wsółczynnii odbici (od ng. eflection coefficients). Jeszcze inn nzw to PARCORy (od ng. til coeltion coefficients). Są to wsółczynnii o wtościch <, ozwljące n twozenie stbilnych filtów. ie i

16 6 wygją one żudnego zeojetowni cłej stutuy towej, gdy tzeb zwięszyć liczbę ogniw ty. Tiej włściwości nie stutu tnswesln. Sygnł owy ożn odelowć z oocą stutuy towej, odobnie j sygnły instuentów uzycznych czy tt głosowy. Możn znleźć WGM t wygeneownych sygnłów oz tnsitncję ttu głosowego. W technice fonicznej bdzo często są wyozystywne stutuy towe z odnych wyżej owodów. Filt towy wyozystuje się n. do eonstucji sygnłu fonicznego obczonego szue i złócenii, etodą inteolcji dtcyjnej, oiejąc się n złożeniu, że sygnł ustyczny ożn zodelowć jo oces utoegesji []. Pytni z nlizy widowej dl Austyi Mowy. Czy zjuje się nliz widow sygnłów owy? Co to wido gęstości ocy (WGM) i j się to wido oblicz?. Ji jest związe oiędzy WGM n wyjściu i n wejściu systeu dysetnego? Objśnij użyte sybole. 3. Zdefiniuj eiodog i oelog. Objśnij j się oblicz eiodog Schuste i w ji celu się go stosuje. 4. Do czego wyozystuje się oenty widowe i n jiej odstwie się je oblicz? 5. Zisz fouły n njwżniejsze oenty widowe. Objśnij użyte sybole. 6. Co to jest i łsości wid (ng. Sectl Fltness Mesue SFM)? J ożn ją obliczyć dl fgentu wid? 7. Dl jich sygnłów używy nieetyczną, dl jich etyczną estycję wid? Wyień ety etycznej estycji wid. 8. Wyień njczęściej stosowne odele etyczne i nszicuj tyowe wid dl odeli etycznych. 9. Objśnij w ji sosób wyonuje się estycję WGM n odstwie odelu utoegesji.. Jie włściwości stutu tow odelu utoegesji i gdzie znjduje zstosownie? Zstosowni oentów widowych. Steownie obotów z oocą głosu. (Słuch obotów bzuje n oentch widowych.). Rozoznwnie wd wyowy. 3. ietóe odiny tów słuchowych (ng. heing ids). 4. Rozoznwnie eocji w ołączeniu z obze. 5. Rozoznwnie eocji w zstosownich sądowych i olicyjnych. 6. Estycj wysiłu wolisty. Ew Henowicz -3-5